p进制几何的前世今生

——华南师大附中“博士论坛”系列17开讲

2025年6月30日，第17期“博士论坛”活动在华南师范大学附属中学石牌校区成功举行。本次活动邀请了数学博士白曜源老师作为主讲嘉宾，他做了“p进制几何的前世今生”为主题的讲座，简要科普了他博士研究领域的工作，将现代数学的思潮带入了中学课堂。

白老师先引用了Dyson教授著名的“飞鸟与青蛙”论断作为开场——“一些数学家是飞鸟，另一些则是青蛙。飞鸟翱翔天空，俯瞰数学之景。能连结各异景色，一统人类思考的概念，飞鸟感到欣喜。青蛙生于低洼泥地，只见周遭生长的花朵。青蛙乐于观察细节，一次解决一个问题。”通过这个论断，白老师向同学们传达了“研究数学并不只有提出问题、解决问题这样一种方式，建立并发展新的理论框架也同样重要”这样的观点。

紧接着，白老师从初等数论的素因子分析入手，向同学们展示了如何在有理数集定义新的所谓“p进制绝对值”。这种新定义的绝对值满足传统的绝对值所满足的“正定性”“可乘性”“三角不等式”等重要性质，可以视作度量两个有理数长度的新的方式。在这个度量方式下，类比有理数与实数进行所谓的“完备化”操作，便可以得到p进制几何中的实数——“p进数”.

通过借助97这个数的3进制展开作为例子，白老师向同学们展示了如何从新的3进制绝对值的角度来去理解97的3进制展开。白老师使用的是几何图形的语言来解释3进制绝对值的“离散性”和“等腰性”，鲜活形象。在听取了几个例子之后，同学们也可以很快举一反三地画出各个自然数的p进制展开的几何示意图。

p进制几何便是建立在“p进数”上的几何理论。随后，白老师向同学们介绍了p进制几何领域的几位重要数学家John Tate、Gerd Faltings、Peter Scholze和他们的故事，简单科普了近些年p进制几何在霍奇理论（Hodge Theory）、拟完美空间理论（Perfectoid Space）、棱镜上同调理论（Prismatic Cohomology）等方面的发展。这些前沿理论虽然离同学们还很遥远，但远方的现代数学大厦的奇观，或许会成为一些同学今后远行的方向。

在讲座的最后，白老师介绍了p进制几何在中国的发展，和学习代数数论所需的前置课程。十几年来，随着越来越多的年轻学者回国效力，中国学者的身影越来越多地出现在p进制几何、乃至代数数论领域前沿。白老师鼓励同学们追随各位前辈老师的步伐，为中国数学撑起一片更加灿烂的明天。

文字与图片：博士工作站

初审：李之宁  

复审：贺建  

终审：肖朝云